【保存版】扇形の弧の長さの求め方！中心角・半径・面積からの逆算まで徹底解説
中学数学および高校入試対策において、扇形の弧の長さが最も実践的に問われる場面が「円錐（えんすい）の展開図」です。立体図形を平面に展開した際、側面にあたる図形は必ず扇形になり、底面は円になります。
この展開図を攻略する上で絶対に崩してはならない幾何学的原則が存在します。それは、「側面の扇形の弧の長さ」は「底面の円の円周の長さ」と完全に一致するという事実です。
円錐の母線の長さを $R$、底面の半径を $r$、側面の扇形の中心角を $a^\circ$ と置いた場合、以下の等式が成立します。
$$2\pi R \times \frac{a}{360} = 2\pi r$$
両辺を $2\pi$ で割り、さらに式を整理すると、入試頻出の重要関係式が導かれます。
$$\frac{a}{360} = \frac{r}{R}$$
すなわち、側面の扇形の中心角の割合は、常に「母線の長さに対する底面の半径の比」に等しくなります。母線が 12 cm、底面の半径が 3 cm の円錐であれば、側面の中心角は計算するまでもなく $360^\circ \times \frac{3}{12} = 90^\circ$ と瞬時に求まります。弧の長さも底面の円周から直ちに $2 \times \pi \times 3 = 6\pi\text{ cm}$ と確定します。この幾何学的対称性を使いこなすことが、難関校の図形問題を制限時間内に完答するための必須条件です。
Tags:
